定义
正态分布又名高斯分布(Gaussian distribution),是一种常见的连续概率分布.正态分布在统计学上非常重要,经常用来在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量.正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线.
若随机变量 $X$ 服从一个位置参数为 $\mu$ ,尺度参数为 $\sigma$ 的正态分布,记为 $X ~ N(\mu, \sigma^2)$.
概率密度函数为:
则累积分布函数为:
其中期望 $\mu$ 决定了分布的位置,标准差 $\sigma$ 或者方差 $\sigma^2$ 决定了分布的幅度.
标准状态分布
通常情况下,我们把期望 $\mu$ 为 0,方差 $\sigma^2$ 为 1 的正态分布,叫做标准正态分布.
性质
- 密度函数 $f(x)$ 关于平均值线 $x=\mu$ 对称.
- 平均值与它的众数以及中位数同一数值.
- 函数曲线下 68.268949% 的面积在平均数左右的一个标准差 $\sigma$ 范围内.
- 95.449974% 的面积在平均数左右的两个标准差 $\sigma$ 范围内.
- 99.730020% 的面积在平均数左右的三个标准差 $\sigma$ 范围内.
- 99.993666% 的面积在平均数左右的四个标准差 $\sigma$ 范围内.
- 函数曲线的拐点位置在离平均数一个标准差 $\sigma$ 的位置.
举例
- 某高校男生的身高.
- 计算学生智力高低的概率.