正态分布(高斯分布)

定义

正态分布又名高斯分布（Gaussian distribution），是一种常见的连续概率分布．正态分布在统计学上非常重要，经常用来在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量．正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线．

若随机变量 $X$ 服从一个位置参数为 $\mu$ ，尺度参数为 $\sigma$ 的正态分布，记为 $X ～ N(\mu, \sigma^2)$．

概率密度函数为：

$f(x) = {1\over \sqrt{2\pi}\sigma}e^{-{(x-\mu)^2}\over 2\sigma^2}$
图像为：

则累积分布函数为：

$F(x) = {1\over \sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^x e^{-{(t-\mu)^2}\over 2\sigma^2}dt$
图像为：

其中期望 $\mu$ 决定了分布的位置，标准差 $\sigma$ 或者方差 $\sigma^2$ 决定了分布的幅度．

标准状态分布

通常情况下，我们把期望 $\mu$ 为 0，方差 $\sigma^2$ 为 1 的正态分布，叫做标准正态分布．

性质

• 密度函数 $f(x)$ 关于平均值线 $x=\mu$ 对称．
• 平均值与它的众数以及中位数同一数值．
• 函数曲线下 68.268949% 的面积在平均数左右的一个标准差 $\sigma$ 范围内．
• 95.449974% 的面积在平均数左右的两个标准差 $\sigma$ 范围内．
• 99.730020% 的面积在平均数左右的三个标准差 $\sigma$ 范围内．
• 99.993666% 的面积在平均数左右的四个标准差 $\sigma$ 范围内．
• 函数曲线的拐点位置在离平均数一个标准差 $\sigma$ 的位置．

举例

• 某高校男生的身高．
• 计算学生智力高低的概率．

参考

1. 正态分布-wiki
2. 正态分布（高斯分布）- CSDN
3. 概率论：高斯/正态分布 - CSDN
4. 透彻理解高斯分布 - 百度百科