伯努利分布

概念

伯努利分布(Bernoulli),也叫两点分布,$0-1$ 分布,是一种离散型概率分布。

设试验 $E$ 只有两个可能结果:$A$ 与 $\overline{A}$ ,则称 $E$ 为伯努利试验.设 $P(A) = p \ (0<p<1)$,此时 $P(\overline{A}) = 1-p$。将 $E$ 独立重复地进行 $n$ 次,则称这一串重复的独立试验为 $n$ 重伯努利试验(二项分布)。

若离散随机变量 $X$ 的服从参数为 $p$ 伯努利分布,令 $q=1-p$,则 $X$ 的概率函数为:

$f(x|p) = \begin{cases} p^xq^{1-x}, \ \ & x = 0,1 \\ 0, \ \ &x \neq 0,1 \end{cases}$

### 期望
$ E(x) = ∑x∗p(x) = 1∗p+0∗(1−p) = p$

### 方差
$D(x) = E(x^2)−(E^2)(x) = p−p^2 = p(1−p)$

### 例子
  • 抛一次硬币是正面向上吗?
  • 刚出生的小孩是个女孩吗?

二项分布

概念

二项分布(Binomial Distribution)也是一种离散型概率分布。二项分布是指进行 $n$ 次伯努利实验(只有出现和不出现两种情况),所期望的结果出现次数的概率,又称为 $n$ 重伯努利分布。

二项分布是建立在有放回的采样基础上,无放回采样可以使用超几何分布计算概率。当样本总量 $N$ 很大,而实验次数 $n$ 很小时,${n\over N} \leq 0.1$ 时可以用二项分布近似超几何分布。

公式

$b(x,n,p) = C_n^xp^x(1-p)^{n-x}$

其中 $C_n^x = {n \cdot (n-1) \cdot \cdots (n-x+1) \over x \cdot (x-1) \cdots 1}$,$n$ 为实验次数​。从公式上可以看出,伯努利分布是二项分布在 $n=1$ 时的特例。

期望

$E[X] = np$

### 方差
$D(X) = np(1-p)$

### 例子
  • 扔 $n$ 次硬币,出现 $k$ 次正面的概率。

代码

public static double binomial(int N, int k, double p)&#123;
    if(N==0 && k==0)&#123;
        return 1.0;
    &#125;
    if(N<0 || k<0)&#123;
        return 0.0;
    &#125;
    return (1.0-p)*binomial(N-1, k, p) + p*binomial(N-1, k-1, p);
    //binomial(n,k,p) = (1-p)*binomial(n-1,k,p)+p*bimomial(n-1,k-1,p)
&#125;

参考

  1. 统计基础篇之十:怎么理解二项分布
  2. 什么是二项分布?
  3. 伯努利分布、二项分布、多类别分布、多项分布
  4. 统计与分布之伯努利分布与二项分布
  5. 伯努利分布详解(包含该分布数字特征的详细推导步骤)