泊松分布 | Young Blog

定义

泊松分布（Poisson distribution），是一种统计与概率学里常见到的离散分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松在1838年时发表。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。

课本中的定义为：设随机变量 $X$ 所有可能取的值为 $0,1,2,3 \cdots$，而取得各个值的概率为

$P \{ X=k\} = {\lambda^ke^{-\lambda} \over k!}, k = 0,1,2,3\cdots$
其中 $\lambda > 0 $ 是常数，则称 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X ～\pi(\lambda)$。

吐槽一句，课本真的是晦涩难懂，就不能像wiki中的那么解释的简单明了一些，然后再引出公式吗？

举例

生活中具有泊松分布的例子有很多：

一本书一页中的印刷错误数；
某地区在一天内邮递遗失的信件数；
某医院平均每小时出生 3 个婴儿；
某公司平均每 10 分钟接到 1 个电话；
某超市平均每天销售 4 包xx牌奶粉；
某网站平均每分钟有 2 次访问；
等等。。

柏松定理

我们知道二项分布是进行了 $n$ 次伯努利实验

$P\{X = k \} = C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$
如果当 $n$ 很大时，趋近于无限大的时候，如果计算随机变量的概率分布呢？也就是去计算下面的式子（这里用到了自然对数 e 的概念），令 $\lambda = np$： $\lim_{n\to\infty} C_n^k p^k(1-p)^{n-k} = {\lambda^ke^{-\lambda} \over k!}$
其中 $\lambda = np$ 是常数，是二项分布的均值，当 $n$ 很大且 $p$ 很小的时候，那么可以使用泊松分布近似二项分布。