预备知识

  1. 乘法原理:如果进行 $A_1$ 过程有 $N_1$ 种方法,进行 $A_2$ 过程有 $N_2$ 种方法,那么进行 $A_1$ 后再进行 $A_2$ 过程,共有 $N_1 \cdot N_2$ 种方法。

  2. 加法原理:如果进行 $A_1$ 过程有 $N_1$ 种方法,进行 $A_2$ 过程有 $N_2$ 种方法,若 $A_1$ 过程与 $A_2$ 过程是平行的,那么进行 $A_1$ 过程或者进行 $A_2$ 过程一共有 $N_1 + N_2$ 种方法。

  3. 排列:从 n 个不同元素中取出 r 个元素进行排列,

    • 有放回采样,有重复的排列,共有 $n^r$ 种排法。
    • 无放回采样,也就是全排列,共有 $A_n^r = n\cdot (n-1)\cdots (n-r+1)$ 种排法。
  4. 组合:从 n 个不同元素中取出 r 个元素而不考虑取出顺序,称为组合。由于不考虑取出的顺序,也就是不进行排列,所以去掉排列的 $r!$ 种可能,则 $C_n^r = {A_n^r \over r!}$。

概念

古典概型

  1. 定义: 如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,并且每个基本事件出现的可能性相等,则称此概率为古典概型。
  2. 特点: 1) 试验结果的有限性; 2) 所有结果的等可能性.
  3. 解题步骤:
    • 求出试验所有的基本事件数
    • 求出事件 A 所包含的基本事件数
  4. 公式: $P(A) = {A 包含的基本事件数 \over 基本事件总数} = {m \over n}$

要点

  1. 基本事件是事件的最小单位, 所有随机事件是由基本事件组成的.
  2. 任何两个基本事件是互斥的, $P(A\or B) = P(A) + P(B); P(A \and B) = P(A)P(B)$.
  3. 任何事件都可以表示成基本事件之和(不可能事件除外).

案例

  1. 题目:盒子里共有大小相同的3只白球,1 只黑球.若从中随机摸出两只球,则它们颜色相同的概率是?

    四个球取出两球有 6 种等可能基本事件:(黑,白1),(黑,白2),(黑,白3),(白1,白2),(白1,白3),(白2,白3).两只球颜色相同有 3 种:(白1,白2),(白1,白3),(白2,白3).
    所以所求概率为 $P = {3\over 6} = {1 \over 2}$.

  2. 将 n 个球随机放入 N 个盒子,每个盒子至多有一个球的概率是?

    每个球都可以放入 N 个盒子, 所以共有 $N^n$ 个基本事件, 而每个盒子最多一个球共有 $N(N-1)\cdots (N-n+1)$ 种放法, 所以所求概率为 $P = {N(N-1)\cdots (N-n+1) \over N^n} = {A_N^n \over N^n}$

  3. n 个人中,他们的生日各不相同的概率是?

    每个人可能有365种情况, 那么总的基本事件数是 $365^n$ , 各不相同的情况有 $365\cdot(365-1)\cdots(365-n+1)$种, 所以所求概率为 $P = {A_{356}^n \over 365^n}$.

    至少有两个人生日相同的概率: $P = 1 - {A_{365}^n \over 365^n}$

    在 n = 64 的情况下, 至少有两个人生日相同的概率接近 1 。

  4. N 件产品中有 D 件次品,问从中取出 n 件恰好有 k 件次品的概率是?

    一共有 $C_N^n$ 种取法, 其中取次品的可能数是 $C_D^k$, 取正品的可能数是 $C_{N-D}^{n-k}$, 则所求概率 $P = {C_D^k C_{N-D}^{n-k} \over C_N^n}$, 也叫超几何概率公式。

  5. 题目:甲乙两人赌技相同,各出赌本 500 元。约定:谁先胜出三局,则谁拿走全部的 1000 元。现已赌了三局,甲二胜一负而因故要终止赌博,问这 1000 元要如何分,才算公平?

    分析:平均分对甲欠公平,全归甲则对乙欠公平,合理的分法是按一定的比例甲拿大头,乙拿小头。一种看来可以接受的方法是按已胜局数分,即甲拿 2/3,乙拿 1/3。仔细分析,发现这不合理,道理如下:

    设想继续赌两局,则结果无非以下四种情况之一:

    甲甲、甲乙、乙甲、乙乙

    其中“甲乙”表示第一局甲胜第二局乙胜,其余类推。把已赌过的三局与上面这四个结果结合(即甲、乙赌完五局),我们看到:对前三个结果都是甲胜三局,因而的 1000 元,只有在最后一个结果才由乙得 1000 元。在赌技相同的情况下,四个结果应有等可能性。因此,甲、乙最终获胜的可能性的大小之比为 3:1。全部赌本应按这比例分,即甲分 750 元,乙分 250 元,才算公平合理。

参考

  1. 关于“古典概型的定义及计算”的所有试题
  2. 古典概型详解+经典案例